Diese an sich mathematisch leicht verständliche Seite kann notfalls übersprungen werden.

Das genial einfache Gleichungssystem von Hipparch dazu sieht wie folgt aus:

        (1) + (2) + C = 180°          
         A  +  B  + C = 180° 
                     
Aus diesen beiden Gleichungen folgt:

         (1) + (2) = A + B
         
Die Werte für die Winkel A und B (siehe letzten Satz der vorangehenden Seite) einsetzen ---> = 15' + 40' => 55'
        
         (1) + (2) = 55' [Gleichung 1]

Da hier noch zwei Unbekannte sind, ist eine zweite Gleichung zu finden.
Sie kommt von Aristarchos und wir kennen sie bereits:

                b : a = 1 : 19  
                    a = 19 * b
                    
Für kleine Winkel [hier also (1) und (2)] gilt hier demnach plausibel, wie bei den Vorbemerkungen begründet.
[Doppelter Abstand zu einer Fahnenstange ergibt halben Sichtwinkel ihrer Höhe]):

                  (1) : (2) = b : a
                        (2) = 19 * (1) [Gleichung 2]   
                        
Gleichung 1 und Gleichung 2 kombiniert:

               (1) + 19*(1) = 55'                  
                     20*(1) = 55'
                        (1) = 2.75'  ---> (2) = 19 * 2.75' = 52.25'          



Die beiden Dreiecke können jetzt mit dem Erdradius (Eratosthenes) von 6300 km mit der Tangens-Funktion berechnet
(oder [mit Tricks] grafisch konstruiert) werden:



a = 6300/tan(2.75') = 7'875'564 km (Erde - Sonne, 19-fach zu klein wegen Fehlers des Aristachos) 

b = 6300/tan(52.25')=   414'472 km (Erde - Mond, erstaunlich genau)